Algebra by Patrik Hubschmid

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  • March 24, 2017
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By Patrik Hubschmid

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Ym ) = 0 gibt. F¨ ur k = 1, . . , m − 1 setzen wir nun m−k d zk := yk − ym ∈ B. Die Unteralgebra B := K[z1 , . . , zm−1 , ym ] von B ist gleich ganz B, weil yk wegen dk f¨ yk = zk + ym ur alle k = 1, . . , m − 1 in B liegt. Nach Konstruktion gilt ∑ dm−1 i1 d im−1 im 0 = f (y1 , . . im (z1 + ym ) · · · (zm−1 + ym ) ym . ,im

Beweis. Nach der vorhergehenden Bemerkung hat der Einsetzungshomomorphismus ϕ : K[X] → L das Hauptideal (f ) ⊂ K[X] als Kern. Weil ϕ zudem die von α erzeugte K-Unteralgebra K[α] ⊂ L als Bild hat, induziert ϕ nach dem Homomorphiesatz einen ∼ Ringisomorphismus ϕ : K[X]/(f ) → K[α] ⊂ L. Daher kann der Faktorring K[X]/(f ) als Unterring des K¨orpers L aufgefasst werden, insbesondere ist er ein Integrit¨atsbereich und (f ) ist ein von Null verschiedenes Primideal von K[X]. Deshalb ist f ein Primelement von K[X] und f ist auch irreduzibel, weil K[X] als Hauptidealring faktoriell ist.

Dann ist M genau dann noethersch, wenn U und M/U noethersch sind. Beweis. Sei π : M → M/U die kanonische Projektion. Sei zun¨achst M noethersch. Dann ist nach Definition U auch noethersch, weil jeder Untermodul von U auch ein Untermodul von M ist. Ist V ein beliebiger Untermodul von M/U , so ist π −1 (V ) als Untermodul von M endlich erzeugt, sagen wir von a1 , . . , an . Weil π surjektiv ist, gilt dann V = π(π −1 (V )) und daher ist V endlich erzeugt von π(a1 ), . . , π(an ). Somit ist M/U auch noethersch.

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