Algebraic topology: a primer by Deo S.

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  • March 24, 2017
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By Deo S.

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6 F¨ ur einen K¨orper k ist der Funktor ∼ (Spec(k)´et )∼ → (diskrete Gk -Mengen) , F → Fx eine Kategorien¨aquivalenz. 6 offenbar die abelschen Garben und die diskreten Gk -Moduln entsprechen (als die abelschen Gruppenobjekte in diesen Kategorien). 6: Wir haben funktorielle Isomorphien f¨ ur jede Garbe F auf Spec(k)´et : Fx = lim → F (Spec(L)) . k⊆L⊆ks L/k endl. 1 Spec(L) → Gk /U 60 mit U = Gal(ks /L) ≤ Gk zuordnet, und die k ⊆ L ⊆ ks wie oben allen offenen Untergruppen U ≤ Gk entsprechen, folgt die Behauptung aus dem folgenden Satz.

Wir erkl¨aren nun einiges zum Arbeiten mit Spektralsequenzen. 1) Die Schichten: F¨ ur jedes r betrachtet man die Er -Schicht aller Terme Erp,q und ihrer Differentiale q E1 -Schicht: d1 • • • • • • • • p q • E2 -Schicht: • • • • • d2 • • • p q • dr Er -Schicht: r • dr r−1 p Es ist dr dr = 0 und Er+1 = ker dr /im dr . 39 2) Limes/Konvergenz: Sei E1p,q ⇒ E p+q (oder E2p,q ⇒ E p+q ) eine endlich konvergente Spektralsequenz. Wir erhalten das folgende Bild: • 0,n n • Er • Er1,n • p+q =n • n Ern,0 • Die Terme, die zu E n beitragen, stehen auf der Geraden p+q = n.

GA GB 0 0 G G Ky 0 0 γ G G C 0, in dem β eine Fortsetzung von α auf B ist (diese existiert, da I 0 injektiv ist). Dann sieht man leicht, dass der mittlere Pfeil (β, γ) ein Monomorphismus ist. Nach dem Schlangenlemma ist die Sequenz 0 → A1 → B 1 → C 1 → 0 der Cokerne von α, (β, γ) und γ exakt, und man f¨ahrt fort mit A1 → I 1 und C 1 → K 1 , usw. 11 (Cartan-Eilenberg-Aufl¨osung) Ist A∗ ein nach unten beschr¨ankter Komplex in A, etwa An = 0 f¨ ur n < N , so gibt es einen naiven Doppelkomplex (I ∗,∗ , dI , dII ) mit I p,q = 0 f¨ ur p < N und q < 0 und einem Morphismus von Komplexen I N,0 y dN,0 G AN dN G I N +1,0 y dN +1,0G AN +1 dN +1 AN +2,0 y G ...

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