### Algebre commutative (lecture notes) by Chambert-Loir A.

• March 24, 2017
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By Chambert-Loir A.

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Alors, pour tout anneau B et tout homomorphisme f : A ! B tel que f (S) B , il existe un unique homomorphisme ' : S 1 A ! B tel que f = ' i. On peut re´sumer cette dernie`re formule en disant que le diagramme A i  f GB z` z zz zz ' z z S 1A est commutatif. De´monstration. — Si un tel ' existe, il doit ve´rifier '(a=s)f (s) = '(a=s)'(i(s)) = '(a=s)'(s=1) = '(a=1) = '(i(a)) = f (a) et donc '(a=s) = f (s) 1 f (a) ou` f (s) 1 de´signe l’inverse de f (s) dans B. Cela prouve qu’il existe un plus un tel homomorphisme '.

B tel que ' i = f . Tout d’abord, si (a=s) = (b=t), soit u 2 S tel que u(at bs) = 0. Alors, f (s) 1 f (a) = f (s) 1 f (tu) 1 f (tu)f (a) = f (stu) 1 f (atu) = f (stu) 1 f (bsu) = f (t) 1 f (b); ce qui prouve que ' est bien de´fini. Quant a` la ve´rification des axiomes d’un homomorphisme d’anneaux, on a '(0) = f (0=1) = f (1) 1 f (0) = 0 et '(1) = f (1=1) = f (1) 1 f (1) = 1: Puis, '(a=s) + '(b=t) = f (s) 1 f (a) + f (t) 1 f (b) = f (st) 1 (f (at) + f (bs)) = f (st) 1 f (at + bs) = '((at + bs)=st) = '((a=s) + (b=t)): CHAPITRE 3.

3. 1. — E´tant donne´ un ide´al I de A, on note I son radical (ou sa racine). Soient I, J et L des ide ´aux de A. De´montrer p p les assertions suivantes : a) si I est contenu dans J, I est contenu dans J ; p p b) on a I J = I \ J ; p p p c) on a I \ J = I \ J ; pp p d) I = I; p e) si p est premier de A, on a p = p ; p unpide´alp I + J; f) on a I + J qp p p I + J; g) on a I + J = h) on a p p (I \ J) + (I \ L) = I \ (J + L) ; i) Soient (pi )1ÄiÄn , n ide´aux premiers de A. On suppose que I p est contenu dans l’intersection des p pi et que cette intersection est contenue dans I.