Algèbre [Lecture notes]] by Antoine Chambert-Loir

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  • March 24, 2017
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By Antoine Chambert-Loir

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Comme Card(S) ⩾ 2, il existe un élément t ∈ S tel que s1 ≠ t et s1 ≠ t ′ . Alors, (t, s1 , . . , s n ) est un mot réduit d’image j(t)g, et (s1 , . . , s n , t) est un mot réduit d’image g j(t). Comme le premier mot débute par t et le second par s1 (c’est là qu’on utilise l’hypothèse que g ≠ e), on a j(t)g ≠ g j(t), ce qui prouve que g n’appartient pas au centre de F(S). Ainsi, Z(F(S)) = {e}. 8. — Désormais, on notera s−1 le symbole que l’on notait jusque là s′ ; on note aussi S−1 l’ensemble S′ .

Des groupes), l’application de A dans B constante de valeur e est un morphisme de monoïdes (resp. de groupes), parfois qualifié de trivial. Si f ∶ A → B et g ∶ B → C sont des morphismes de monoïdes (resp. de groupes), leur composée g ○ f est un morphisme de monoïdes (resp. de groupes). On dit qu’un morphisme f ∶ A → B de monoïdes (resp. de groupes) est un isomorphisme s’il existe un morphisme de monoïdes (resp. de groupes) g ∶ B → A tel que g ○ f = idA et f ○ g = idB . Pour que f soit un isomorphisme, il faut et il suffit qu’il soit bijectif ; son application réciproque est en effet automatiquement un morphisme.

Inversement, supposons que p(C) soit un sous-groupe distingué de A/B et soit q ∶ (A/B)/p(C) la surjection canonique. Le noyau de l’homomorphisme q ○ p ∶ A → (A/B)/p(C) est égal à p−1 (p(C)) = C. Cela prouve que C est un sous-groupe distingué de A. En outre, l’homomorphisme q ○ p induit, par passage au quotient, un isomorphisme de A/C sur (A/B)/p(C). 12). — Soit A un groupe, soit B et C des sous-groupes de A ; supposons que B soit distingué dans A et notons p la surjection canonique de A sur A/B.

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